Bei einer Exponentialfunktion steht die Variable $x$ im Exponenten. Bei einer Potenz $a^b$ nennen wir $a$ die Basis und $b$ den Exponenten. Enthält der Funktionsterm hingegen eine Potenz, in der die Variable in der Basis steht, so handelt es sich nicht um eine Exponentialfunktion.
Der Graph verläuft oberhalb der $x$-Achse. Wegen $a^0=1$ verläuft jeder Graph durch den Punkt $(0|1)$. Die Aussage "Der Graph verläuft durch den Punkt $(1|0)$." ist also falsch.
Die Aussage "Für immer kleiner werdende $x$-Werte gehen die Funktionswerte gegen $0$." ist demnach richtig.
Die Natürliche Exponentialfunktion
Die natürliche Exponentialfunktion ist die Exponentialfunktion mit der Basis $e$. $e \approx 2{,}718$. Die natürliche Exponentialfunktion ist so definiert, dass ihr Graph und der Graph ihrer Ableitungsfunktion identisch sind. Die natürliche Exponentialfunktion ist die Exponentialfunktion mit der Basis $e$.
Die natürliche Exponentialfunktion ist so definiert, dass ihr Graph und der Graph ihrer Ableitungsfunktion identisch sind. Da läuft das Ableiten ja wie von selbst! Daran könnte man sich glatt gewöhnen. Das ist praktisch.
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Der Graph der Ableitung ist ebenfalls eine Exponentialfunktion. Er kann oberhalb oder unterhalb des Funktionsgraphen verlaufen. Die Aussage "Die Ableitung ist gleich dem Funktionsterm." ist also falsch.
Anwendung der Ableitung zur Bestimmung der Steigung
Die Steigung $m$ an einer konkreten Stelle $x$ bestimmen wir mit dem Funktionswert der Ableitung $f^\prime$ an dieser Stelle. An jeder Stelle des Graphen entspricht der Funktionswert daher der Steigung $m$ des Graphen an dieser Stelle.
Bestimmung von Extrema
Zur Bestimmung der Extrema werden die ersten beiden Ableitungen benötigt. Für Extrema muss die 1. Ableitung Null gesetzt werden:
\begin{align*}f'(x)=0\end{align*}
Dieses $x$ wird in die 2. Ableitung eingesetzt, um zu überprüfen, ob es sich tatsächlich um ein Extremum handelt und um welches.
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\begin{align*} f''(x_E)\neq 0. \end{align*}
Beispiel 1
Der rote Funktionsgraph besitzt den y-Achsenschnittpunkt $Y(0|3)$ und den x-Achsenschnittpunkt $N(-1,5|0)$. Mit Hilfe der Achsenschnittpunkte kannst du aus den fünf angegebenen Funktionen die richtige Funktion eindeutig auswählen: Die zugehörige Funktion lautet $f(x)=(2x+3)e^x$.
Zur Bestimmung der Extrema werden noch die ersten beiden Ableitungen benötigt.
\begin{align*}f'(x)=0\end{align*}
Für Extrema muss die 1. Ableitung Null gesetzt werden:
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\begin{align*}f'(x)=0\end{align*}
Dieses $x$ wird in die 2. Ableitung eingesetzt, um zu überprüfen, ob es sich tatsächlich um ein Extremum handelt und um welches.
Beispiel 2
Da der blaue Funktionsgraph zwei Nullstellen besitzt, muss das entsprechende Polynom, welches ein Faktor der Funktion ist, mindestens quadratisch sein. Der y-Achsenschnittpunkt ist $Y(0|-1)$ und x-Achsenschnittpunkte sind $N_1(-1|0)$ sowie $N_2(1|0)$. Die einzige Funktion, die dies erfüllt ist $g(x)=(x^2-1)e^x$.
Zur Bestimmung der Extrema werden noch die ersten beiden Ableitungen benötigt.
\begin{align*}f'(x)=0\end{align*}
Für Extrema muss die 1. Ableitung Null gesetzt werden:
\begin{align*}f'(x)=0\end{align*}
Beide $x$ werden in die 2. Ableitung eingesetzt, um zu überprüfen, ob es sich tatsächlich um Extrema handelt und um welche.
tags: #Exponentialfunktion #verhalten #im #unendlichen